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今天和大家一起聊一聊數(shù)學(xué)運(yùn)算中的“坑”——常見易錯(cuò)點(diǎn)。

 

一、行程問題——“車過橋”與中途休息

例題1、某列車通過1200米長(zhǎng)的隧道要用時(shí)33秒，與另一列長(zhǎng)150米、速度為50米/秒的列車錯(cuò)車而過需要3秒，則該列車減速一半后，通過一座600米的橋梁所需的時(shí)間為？

A 18秒

B 20秒

C 30秒

D 36秒

 

【基礎(chǔ)解析】

根據(jù)題干可知，兩列火車錯(cuò)車而過，相當(dāng)于相遇問題，所以經(jīng)過的路程為兩個(gè)火車車長(zhǎng)之和，速度為兩車速度之和，設(shè)列車速度為Vm/s，車身長(zhǎng)為L(zhǎng)，因?yàn)閮绍囧e(cuò)車而過需要3秒，所以（L+150）/3=(V+50)，L=3V。列車經(jīng)過1200米隧道需要33秒，總路程長(zhǎng)為火車長(zhǎng)與1200之和，所以L+1200=33V，已推出L=3V，即1200=30V，V=40m/s。列車速度減半，則速度為20m/s，經(jīng)過橋梁，總路程為車身長(zhǎng)和橋梁長(zhǎng)S=600+3×40=720m,t=S/V=720/20=36秒。故本題答案為D。

【易錯(cuò)/陷阱分析】

錯(cuò)車而過的路程長(zhǎng)是包括兩列火車車身長(zhǎng)度之和，過橋過隧道均不能忽視車身長(zhǎng)度。

 

例題2、老李每天早晨9點(diǎn)準(zhǔn)時(shí)出門散步鍛煉身體。他以3千米每小時(shí)的速度步行6千米，其中每走20分鐘休息5分鐘。那么老李鍛煉到（ ）回家。

A 11點(diǎn)20分

B 11點(diǎn)25分

C 11點(diǎn)30分

D 11點(diǎn)45分

 

【基礎(chǔ)解析】

根據(jù)題意，老李速度為3千米每小時(shí)，路程6千米，即不休息的話，老李走完6千米需要6÷3=2小時(shí)。每20分鐘休息一次，即一個(gè)小時(shí)休息60÷20=3次，因?yàn)樽詈笠淮巫咄瓴簧婕靶菹r(shí)間，即120分鐘的路程中間需要休息5次，休息總時(shí)間=5×5=25分鐘。所以老李鍛煉道家的時(shí)間為9點(diǎn)+2小時(shí)25分鐘=11點(diǎn)25分。故本題答案為B。

【易錯(cuò)/陷阱分析】

每走20分鐘休息5分鐘，從出門鍛煉到回家，則最后一次走到家里不涉及休息時(shí)間。行程問題路途中的休息時(shí)間不能忽略，注意是否需要計(jì)算入總的行駛時(shí)間。

 

二、概率問題——反向計(jì)算

例題3、正值畢業(yè)季，306宿舍有A、B、C、D四位男同學(xué)，他們準(zhǔn)備找班主任宋老師合影，若要求宋老師坐正中間，A、B兩位同學(xué)不能挨著坐，那么總共有多少種坐法?

A 8種

B 12種

C 16種

D 24種

【基礎(chǔ)解析】

解法一：根據(jù)題干可知，包括老師一共5人合影，老師要在中間，則老師左邊和右邊各兩個(gè)人。A、B不能挨著坐，即AB不相鄰，則A、B分別在老師左右兩邊， C、D也分別在老師的左右兩邊。先讓A從剩下的4個(gè)位置中選擇1個(gè)，有C（4,1）=4種坐法，那么B只能從不挨著A的2個(gè)位置中選一個(gè)，有C（2,1）=2種坐法，剩下的CD兩人就是從剩下的2個(gè)位置中進(jìn)行選擇，兩人進(jìn)行位置排列有A（2,2）=2種坐法，總共有4×2×2＝16種坐法。故本題答案為C。

解法二：反向考慮。宋老師坐正中間，ABCD四位同學(xué)總坐法有A（4,4）=24種，若AB兩位同學(xué)挨著坐，則可捆綁后選擇宋老師左邊或右邊的兩個(gè)位置，有C（2,1）=2種，兩人內(nèi)部位置排列有A（2,2）=2種，剩余宋老師的另一邊則是CD兩人排列有A（2,2）=2種坐法，故AB同學(xué)挨著坐的情況共有2×2×2=8種。則不挨著坐的情況有24-8=16種。故本題答案為C。

【易錯(cuò)/陷阱分析】

概率問題可從正面求解，也可從反面求解(一般當(dāng)正面難以求解時(shí))，但反面求解應(yīng)注意考慮全面或不多算。

 

三、經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問題——利潤(rùn)率

例題4、一商品的進(jìn)價(jià)比上月低了5%，但超市仍按上月售價(jià)銷售，其利潤(rùn)率提高了6個(gè)百分點(diǎn)，則超市上月銷售該商品的利潤(rùn)率為：

A 12%

B 13%

C 14%

D 15%

 

【基礎(chǔ)解題】

設(shè)該商品上月的進(jìn)價(jià)為100，商品的售價(jià)為x，則該商品本月的進(jìn)價(jià)為95，可得（x-95）/95-（x-100）/100=0.06，即x/95-x/100=0.06，解得x=114，則超市上月的利潤(rùn)率為（114-100）/100=14%。故本題答案為C。

【易錯(cuò)/陷阱分析】

一般而言，數(shù)學(xué)運(yùn)算中的利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本，資料分析中的利潤(rùn)率=利潤(rùn)/收入。

 

四、周期日期問題——間隔周期、日期計(jì)算

例題5、甲、乙、丙三人均每隔一定時(shí)間去一次健身房鍛煉。甲每隔2天去一次，乙每隔4天去一次，丙每7天去一次。4月10日三人相遇，下一次相遇是哪天?

A 5月28日

B 6月5日

C 7月24日

D 7月25日

 

【基礎(chǔ)解析】

根據(jù)題干可知，甲每隔2天去一次健身房，則甲去健身房的周期為2+1=3天，乙每隔4天去一次健身房，則乙去健身房的周期為4+1=5天，丙每7天去一次健身房，則丙去健身房的周期為7天，所以甲、乙、丙三人同時(shí)去健身房的周期為3×5×7=105天。4月10日三人相遇，下一次三人相遇在健身房相遇是在105天之后，此時(shí)4月還剩20天，5月有31天，6月30天，7月還剩105-81=24天，即7月24日三人再次相遇。故本題答案為C。

【易錯(cuò)/陷阱分析】

每隔n天去一次，周期為n+1天；每n天去一次，周期為n天。

 

五、濃度問題——十字交叉法的運(yùn)用

例題6、現(xiàn)有濃度為12%和24%的鹽水各若干克，將其混合后加入50克水，配制成了濃度為18%的鹽水600克，則原12%和24%的鹽水質(zhì)量之比是：

A 6:5

B 1:1

C 5:6

D 4:7

 

【基礎(chǔ)解析】

解析一：設(shè)濃度為12%的鹽水有x克，濃度為24%的鹽水有y克，混合后加入50克水得到濃度為18%的鹽水600克，則溶液總量600=x+y+50，混合前后含鹽量為12%x+24%y=18%×600，聯(lián)立兩式可解得x=200、y=350，則原12%和24%的鹽水質(zhì)量之比為200:350=4:7。故本題答案為D。

解析二：根據(jù)題干可知，混合得到濃度為18%的鹽水600克，則加水前，濃度為12%和24%的鹽水混合后得到的溶液的濃度為600×18%/（600-50）=108/550，則根據(jù)十字交叉法可得原12%和24%的鹽水質(zhì)量之比=（24%-108/550）：（108/550-12%）=4:7。故本題答案為D。

【易錯(cuò)/陷阱分析】

溶液混合前后溶質(zhì)的質(zhì)量保持不變，溶液的質(zhì)量和濃度發(fā)生變化。本題中兩溶液混合后加水50克才得到濃度18%的鹽水，在運(yùn)用十字交叉法時(shí)不能直接計(jì)算。

 

以上就是數(shù)學(xué)運(yùn)算中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，另附上一些數(shù)學(xué)中的基本公式，預(yù)祝各位小伙伴們旗開得勝。

1、工程問題：

工作量=工作效率×工作時(shí)間、總工作量=各分工作量之和

2、行程問題：

路程=速度×?xí)r間

相遇追及問題公式：相遇距離=（V1+V2）×相遇時(shí)間、追及距離=（V1-V2）×追及時(shí)間

流水行船問題公式：順?biāo)?船速+水速、逆水=船速-水速

往返相遇問題公式：兩岸型兩次相遇 S=3S1-S2、單岸型兩次相遇 S=（3S1+S2）/2（S1為第一次相遇距離，S2為第二次相遇距離）

3、經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問題：

利潤(rùn)=售價(jià)-成本、利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本、總利潤(rùn)=單利潤(rùn)×銷量=總售價(jià)-總成本

4、排列組合：

排列和組合的計(jì)算公式：A(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*……*(n-m+1)；C(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*……*(n-m+1)/m!；C(n,m)=C(n,n-m)。

分類原理和分步原理的區(qū)別和運(yùn)用：分類用加法，分步用乘法。

排列組合的常見方法：捆綁法、插空法、隔板法、錯(cuò)位排列、圓桌排列。

5、容斥原理：

兩集合容斥公式 A+B-A∩B=全部-都不

三集合容斥公式 A+B+C-(A∩B+B∩C+A∩C)+A∩B∩C=全部-都不

三集合變形公式 A+B+C-(各個(gè)只同時(shí)屬于兩個(gè)集合的值的和)-2×A∩B∩C=全部-都不

6、濃度問題：

溶液=溶質(zhì)+溶劑、濃度=溶質(zhì)/溶液

7、牛吃草問題：

y=（N-x）×t，其中y代表草原量，N代表牛的頭數(shù)，x代表草生長(zhǎng)的速度，t代表牛吃完這片草所用的時(shí)間。

8、基礎(chǔ)數(shù)學(xué)公式

（1）?？紨?shù)列的求和

自然數(shù)列：1+2+3+……+n=n*(n+1)/2。[自然數(shù)列中，數(shù)的個(gè)數(shù)=(大數(shù)-小數(shù))+1]

公差為d的等差數(shù)列：a[n]=a[1]+(n-1)d;S[n]=(a[1]+a[n])/2×n;S[n]=na[1]+n(n-1)/2×d。

（2）2、3、5的倍數(shù)的數(shù)字特征

2的倍數(shù)=該數(shù)能被2整除：數(shù)的最末一位數(shù)字是一個(gè)偶數(shù);

5的倍數(shù)=該數(shù)能被5整除：數(shù)的最末一位數(shù)字是0或5;

3(9)的倍數(shù)=該數(shù)能被3(9)整除：數(shù)的各個(gè)位上的數(shù)字之和是3(9)的倍數(shù)。

（3）同余定理

差同減差(選除數(shù)的最小公倍數(shù)，然后“減差”)

和同加和(選除數(shù)的最小公倍數(shù)，然后“加和”)

余同取余(選除數(shù)的最小公倍數(shù)，然后“加余”)

（4）倍數(shù)特性

若a:b=m:n（m、n互質(zhì)），則a是m的倍數(shù)，b是n的倍數(shù)，a+b（a-b）是m+n（m-n）的倍數(shù)。

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