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      在數(shù)量關(guān)系題型中，?？嫉挠袃煞N題型，分別是二集合容斥原理和三集合容斥原理。解決容斥原理常用的方法有公式法和畫圖法，其中公式法解決容斥原理是非?？焖俚慕忸}方法，只要學(xué)會(huì)公式，理解并能夠熟練應(yīng)用公式，那么容斥原理是考場(chǎng)中比較容易拿分的一種題型。

兩集合容斥原理公式為：滿足條件1的個(gè)數(shù)＋滿足條件2的個(gè)數(shù)－兩者都滿足的個(gè)數(shù)＝總個(gè)數(shù)－兩者都不滿足的個(gè)數(shù)；

三集合容斥原理分成標(biāo)準(zhǔn)型和非標(biāo)準(zhǔn)型兩種。

三集合標(biāo)準(zhǔn)型容斥原理公式為：滿足條件1的個(gè)數(shù)+滿足條件2的個(gè)數(shù)+滿足條件3的個(gè)數(shù)-滿足兩個(gè)條件的個(gè)數(shù)+三者都滿足的個(gè)數(shù)=總個(gè)數(shù)-三者都不滿足的個(gè)數(shù)。

三集合非標(biāo)準(zhǔn)型容斥原理公式為：滿足條件1的個(gè)數(shù)+滿足條件2的個(gè)數(shù)+滿足條件3的個(gè)數(shù)-“只”滿足兩個(gè)條件的個(gè)數(shù)-2×三者都滿足的個(gè)數(shù)=總個(gè)數(shù)-三者都不滿足的個(gè)數(shù)。

【例1】學(xué)校有300個(gè)學(xué)生選擇參加地理興趣小組，生物興趣小組或者兩個(gè)小組同時(shí)參加。如果80%學(xué)生參加地理興趣小組，50%學(xué)生參加生物興趣小組。問同時(shí)參加地理和生物興趣小組的學(xué)生人數(shù)是多少？

A.240

B.150

C.90

D.60

答案：C

【解析】第一步，本題考查容斥問題，屬于二集合容斥類，用公式法解題。

第二步，共兩個(gè)興趣小組，其中80%的學(xué)生參加地理興趣小組、50%的學(xué)生參加生物興趣小組，根據(jù)兩集合容斥原理公式：滿足條件1的個(gè)數(shù)＋滿足條件2的個(gè)數(shù)－兩者都滿足的個(gè)數(shù)＝總個(gè)數(shù)－兩者都不滿足的個(gè)數(shù)，設(shè)同時(shí)參加兩個(gè)興趣小組的學(xué)生占比為x，則有80%＋50%－x＝100%－0，解得x＝30%，那么同時(shí)參加兩個(gè)興趣小組的共有300×30%＝90（人）。因此，選擇C選項(xiàng)。

【例2】學(xué)某單位共有240名員工，其中訂閱A期刊的有125人，訂閱B期刊的有126人，訂閱C期刊的有135人，訂閱A、B期刊的有57人，訂閱A、C期刊的有73人，訂閱3種期刊的有31人，此外，還有17人沒有訂閱這三種期刊中的任何一種。問訂閱B、C期刊的有多少人？

A.57

B.64

C.69

D.78

答案：B

【解析】第一步，本題考查容斥原理。

第二步，題目中滿足兩個(gè)條件的集合人數(shù)是分別給出的，應(yīng)用三集合標(biāo)準(zhǔn)型容斥原理公式解題。設(shè)訂閱B、C期刊的有x人，可列方程：125＋126＋135－57－73－x＋31＝240－17，解得x＝64（也可利用尾數(shù)法求得尾數(shù)為4）。因此，選擇B選項(xiàng)。

【例3】某班參加學(xué)科競(jìng)賽人數(shù)40人，其中參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有22人，參加物理競(jìng)賽的有27人，參加化學(xué)競(jìng)賽的有25人，只參加兩科競(jìng)賽的有24人，參加三科競(jìng)賽的有多少人？

A.2

B.3

C.5

D.7

答案：C

【解析】第一步，本題考查容斥問題，屬于三集合容斥類，用公式法解題。

第二步，設(shè)參加三科競(jìng)賽的有x人，根據(jù)三集合非標(biāo)準(zhǔn)型容斥原理公式可列方程：40－0＝22＋27＋25－24－2x，解得x＝5。因此，選擇C選項(xiàng)。

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