方陣問題是數(shù)量關(guān)系中一類規(guī)律性較強(qiáng)的題型。多數(shù)同學(xué)覺得該題型為一個(gè)難點(diǎn)，但掌握其規(guī)律與方法，做題就會(huì)又快又準(zhǔn)。今天帶大家來看一下方陣問題的規(guī)律、方法及其應(yīng)用。
一、方陣問題定義及其核心規(guī)律
方陣問題是指將元素按一定條件排成正方形(分為實(shí)心方陣與空心方陣)，我們研究“每條邊上的元素個(gè)數(shù)”，“層數(shù)”，“每層元素總數(shù)”以及“方陣元素總數(shù)”的關(guān)系。
1.方陣元素總數(shù)=每條邊上的元素個(gè)數(shù)×每條邊上的元素個(gè)數(shù)
2.最外層元素總數(shù)=(每條邊上的元素個(gè)數(shù)-1)×4
3.方陣層間關(guān)系
邊邊差2，層層差8：方陣每相鄰兩層邊上元素個(gè)數(shù)相差為2，由內(nèi)向外每相鄰兩層總元素?cái)?shù)相差為8。(特殊：每層邊上元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，實(shí)心方陣最中間兩層差7)
層數(shù)=最外層邊上元素個(gè)數(shù)÷2(有余數(shù)時(shí)，商要+1)
二、方陣求總和方法
1.利用層間關(guān)系：算出各層，層層相加
2.利用等差數(shù)列求和
層數(shù)為奇數(shù)時(shí)：元素總數(shù)=中間層元素個(gè)數(shù)×層數(shù)
層數(shù)為任意層：元素總數(shù)=(最外層總數(shù)+最內(nèi)層總數(shù))×層數(shù)÷2
三、常見題型
【例1】有綠、白兩種顏色且尺寸相同的正方形瓷磚共400塊，將這些瓷磚鋪在一塊正方形的地面上：最外面的一周用綠色瓷磚鋪，從外往里數(shù)的第二周用白色瓷磚鋪，第三周用綠色瓷磚，第四周用白色瓷磚……這樣依次交替鋪下去，恰好將所有瓷磚用完。這塊正方形地面上的綠色瓷磚共有多少塊：
A.180
B.196
C.210
D.220
答案：D
【解析】正方形地面上共鋪400塊瓷磚，400=20×20，即最外層邊長個(gè)數(shù)為20，層數(shù)=20÷2=10層(綠色與白色瓷磚交替各5層)，最外層綠色瓷磚總數(shù)=(20-1)×4=76。根據(jù)方陣規(guī)律可知，每相鄰兩層總?cè)藬?shù)相差為8，則每兩層綠色瓷磚總數(shù)相差16，那么綠色瓷磚每層數(shù)量分別為76，60，44，28，12，綠色瓷磚總數(shù)=76+60+44+28+12=220。選擇D。
【例2】某表演隊(duì)表演，第一次站隊(duì)形時(shí)，所有人剛好站成了實(shí)心方陣;第二次有一人出來領(lǐng)舞，則其余人站成了一個(gè)三層的空心方陣。請(qǐng)問表演隊(duì)共有多少人?
A.121
B.146
C.144
D.210
答案：A
【解析】根據(jù)“第一次站隊(duì)形時(shí)，所有人剛好站成了實(shí)心方陣”可知，表演隊(duì)總?cè)藬?shù)為平方數(shù)，故排除B和D;“第二次有一人出來領(lǐng)舞，則其余人站成了一個(gè)三層的空心方陣”，由于空心方陣由內(nèi)向外每相鄰兩層總?cè)藬?shù)相差為8，即每層人數(shù)形成了一個(gè)公差為8的等差數(shù)列，層數(shù)為3，所以三層總?cè)藬?shù)等于中間層人數(shù)乘以3，即總?cè)藬?shù)減1可被3整除，將A和C選項(xiàng)代入驗(yàn)證，只有A符合，選擇A。
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趙老師